Передачу энергии в гидравлических системах обеспечивают рабочие жидкости, поэтому чтобы эффективно их применять, надо знать какими свойствами они обладают.
Жидкости, как и все вещества, имеют молекулярное строение. Они занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами. Это определяется величинами межмолекулярных сил и характером движений составляющих их молекул. Вгазах расстояния между молекулами больше, а силы межмолекулярного взаимодействия меньше, чем в жидкостях и твердых телах, поэтому газы отличаются от жидкостей и твердых тел большей сжимаемостью. По сравнению с газами жидкости и твердые тела малосжимаемы.
Молекулы жидкости находятся в непрерывном хаотическом тепловом движении, отличающемся от хаотического теплового движения газов и твердых тел. В жидкостях это движение осуществляется в виде колебаний (10 13 колебаний в секунду) относительно мгновенных центров и скачкообразных переходов от одного центра к другому. Тепловое движение молекул твердых тел состоит в колебаниях относительно стабильных центров. Тепловое движение молекул газа выглядит, как непрерывные скачкообразные перемены мест.
При этом надо заметить, что изменение температуры и давления приводят к изменениям свойств жидкостей. Установлено, что при повышении температуры и уменьшении давления свойства жидкостей приближаются к свойствам газов, а при понижении температуры и увеличении давления – к свойствам твердых тел.
Термин «жидкость» применяется для обозначения и собственно жидкости, которую рассматривают как несжимаемую или мало сжимаемую среду, и газа, который можно рассматривать как «сжимаемую жидкость».
Гипотеза сплошности
Рассматривать и математически описывать жидкость как совокупность огромного количества отдельных частиц, находящихся в постоянном непрогнозируемом движении, на современном уровне науки не представляется возможным. По этой причине жидкость рассматривается как некая сплошная деформируемая среда, имеющая возможность непрерывно заполнять пространство, в котором она заключена. Другими словами, под жидкостями понимают все тела, для которых характерно свойство текучести , основанное на явлении диффузии . Текучестью можно назвать способность тела как угодно сильно менять свой объём под действием сколь угодно малых сил. Таким образом, в гидравлике жидкость понимают как абстрактную среду –континуум , который является основой гипотезы сплошности. Континуум считается непрерывной средой без пустот и промежутков, свойства которой одинаковы во всех направлениях. Это означает, что все характеристики жидкости являются непрерывными функциями и все частные производные по всем переменным также непрерывны.
По-другому такие тела (среды) называют капельными жидкостями. Капельные жидкости - это такие, которые в малых количествах стремятся принять шарообразную форму, а в больших образуют свободную поверхность.
Очень часто в математических описаниях гидравлических закономерностей используются понятия «частица жидкости » или «элементарный объём жидкости ». К ним можно относиться как к бесконечно малому объёму, в котором находится достаточно много молекул жидкости. Например, если рассмотреть кубик воды со сторонами размером 0,001 см , то в объеме будет находиться 3,3∙10 13 молекул. Частица жидкости полагается достаточно малой по сравнению с размерами области, занятой движущейся или покоящейся жидкостью.
Сплошная среда представляет собой модель, которая успешно используется при исследовании закономерностей покоя и движения жидкости. Правомерность применения такой модели жидкости подтверждена всей практикой гидравлики.
Изучение реальных жидкостей и газов связано со значительными трудностями, т.к. физические свойства реальных жидкостей зависят от их состава, от различных компонентов, которые могут образовывать с жидкостью различные смеси как гомогенные (растворы) так и гетерогенные (эмульсии, суспензии и др.) По этой причине для вывода основных уравнений движения жидкости приходится пользоваться некоторыми абстрактными моделями жидкостей и газов, которые наделяются свойствами неприсущими природным жидкостям и газам.
Идеальная жидкость - модель природной жидкости, характеризующаяся изотропностью всех физических свойств и, кроме того, характеризуется абсолютной несжимаемостью, абсолютной текучестью (отсутствие сил внутреннего трения), отсутствием процессов теплопроводности и теплопереноса.
Реальная жидкость - модель природной жидкости, характеризующаяся изотропностью всех физических свойств, но в отличие от идеальной модели, обладает внутренним трением при движении.
Идеальный газ - модель, характеризующаяся изотропностью всех физических свойств и абсолютной сжимаемостью.
Реальный газ - модель, при которой на сжимаемость газа при условиях близких к нормальным условиям существенно влияют силы взаимодействия между молекулами.
В гидромеханике рассматриваются макроскопические движения жидкостей и газов, а также силовое взаимодействие этих сред с твердыми телами. При этом, как правило, размеры рассматриваемых объемов жидкостей, газов и твердых тел оказываются несопоставимо большими по сравнению с размерами молекул и межмолекулярными расстояниями. Это естественно, поскольку межмолекулярные расстояния в жидкостях составляют всего см.
Указанные обстоятельства позволяют ввести гипотезу сплошности изучаемой среды и заменить реальные дискретные объекты упрощенными моделями, представляющими собой материальный континуум, т. е. материальную среду, масса которой непрерывно распределена по объему. Такая идеализация упрощает реальную дискретную систему и позволяет использовать для ее описания хорошо разработанный математический аппарат исчисления бесконечно малых и теорию непрерывных функций.
Параметры, характеризующие термодинамическое состояние, покой или. движение среды, считаются при этом непрерывно изменяющимися по всему объему, занятому средой, кроме, быть может, отдельных точек, линий или поверхностей, где могут существовать разрывы.
Теоретические результаты, подученные для гипотетической сплошной среды, тем лучше совпадут с результатами наблюдений, чем полнее и точнее учтены в ней свойства реальных жидкостей и газов. К сожалению, идеализацию среды во многих случаях не удается ограничить только допущением ее сплошности. Сложность изучаемых явлений заставляет отказываться от учета и некоторых других свойств реальных сред. В зависимости от тех свойств, которые приписываются гипотетической сплошной среде, получают различные ее модели.
Гипотеза сплошности среды означает, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будем подразумевать «физически» бесконечно малый объем, т. е. объем достаточно малый по сравнению с объемом жидкости, но большой по сравнению с молекулярными расстояниями.
Согласно гипотезе сплошности масса среды распределена в объеме непрерывно и в общем неравномерно. Основной динамической характеристикой среды является плотность распределения массы по объему или просто плотность среды.
Плотность среды в произвольной точке А определяется соотношением
где – масса, заключенная в малом объеме , включающем точку А ; предел берется при стягивании объема к этой точке.
Наряду с плотностью в рассмотрение вводится понятие удельного объема , который представляет собой объем, содержащий единицу массы:
Плотность среды может изменятся от точки к точке и в данной точке со временем, т. е.
(11)
Аналогично для давления имеем .
Как известно, по двум термодинамическим величинам с помощью уравнения состояния вещества могут быть определены все термодинамические величины. Таким образом, задание пяти величин: трех компонентов скорости 
,
давления и плотности полностью определяет состояние движущейся жидкости. Подчеркнем, что есть скорость жидкости в каждой данной точке х, у, z
пространства в момент времени t
.
Однако эта функциональная связь не является непосредственной, так как плотность жидкостей и газов определяется фактически значениями термодинамических параметров состояния (р и Т), которые при движении среды зависят от координат (х, у, z) и времени (t ).
Математическое описание движения жидкой среды общими дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой среде, оказывается весьма сложной задачей. Если даже ограничится учетом только текучести, вязкости и сжимаемости, то и тогда уравнения движения, выражающие основные законы механики, оказываются настолько сложными, что пока не удалось разработать общих аналитических методов их решения. Применение численных методов интегрирования таких уравнений на базе современных ЭВМ также связано со значительными трудностями. В гидромеханике поэтому широко используют различные упрощенные модели среды и отдельных явлений.
Под моделью реальной среды понимают такую гипотетическую среду, в которой учтены только некоторые из физических свойств, существенные для определенного круга явлений и технических задач. Другие малосущественные свойства среды в модели игнорируются.
Одной из основных в гидромеханике является модель несжимаемой идеальной (или невязкой) жидкости. Так называется гипотетическая сплошная среда, обладающая текучестью, лишенная вязкости и полностью несжимаемая. Эта модель является объектом исследования в разделе гидромеханики «Теория идеальной несжимаемой жидкости». Игнорирование свойств вязкости и сжимаемости сильно упрощает математическое описание движения жидкости и позволяет получить многие решения в конечном замкнутом виде. Несмотря на значительную степень идеализации среды, теория несжимаемой невязкой жидкости дает ряд не только качественно, но и количественно подтверждаемых опытом результатов, полезных для практических приложений. Но не менее существенное значение этой теории состоит в том, что она является базой для других моделей, более полно учитывающих свойства реальных сред. Следует, однако, подчеркнуть, что пренебрежение вязкостью является весьма сильной степенью идеализации, поэтому теория идеальной несжимаемой жидкости может приводит к результатам, резко расходящимся с опытом.
Более полно свойства реальной жидкости учитываются в модели вязкой несжимаемой жидкости, которая представляет собой среду, обладающую текучестью и вязкостью, но абсолютно несжимаемую. Теория вязкой несжимаемой жидкости лишь в ограниченном числе случаев с простейшими граничными условиями позволяет получить точные решения полных уравнений движения. Наибольшее значение в этой теории имеют приближенные уравнения и их решения. Такие уравнения получают путем отбрасывания в полных уравнениях движения тех членов, которые мало влияют на соответствие теоретических решений опыту. Решения приближенных уравнений могут быть как точными, так и приближенными.
Для того чтобы стало возможным теоретическое исследование направленного движения жидкости с использованием математического аппарата исчисления бесконечно малых (дифференциального исчисления) и теории непрерывных функций (интегрального исчисления), необходимо выполнить определенную идеализацию жидкости и абстрагироваться от её дискретного молекулярного строения.
Все тела (в том числе и газообразные и капельной жидкости) состоят из отдельных элементарных частиц. Причём объёмы, занимаемые телами, значительно больше объёмов, в которых сосредоточено само вещество. По существу, все тела «состоят из пустоты», но в то же время в любом существенном для практических задач малом объёме пространства, занятого телом, заключено достаточно большое число частиц. Как правило, размеры рассматриваемых объёмов жидкости и твердых тел, обтекаемых этой жидкостью, оказываются несопоставимо бόльшими по сравнению с размерами молекул и межмолекулярными расстояниями. Указанные обстоятельства дают основание приближенно рассматривать жидкость как материальную среду, заполняющую пространство непрерывно – сплошным образом , и ввести гипотезу сплошной среды , на основании которой реальные дискретные объекты заменяются упрощенными моделями материального континуума . Эти умозрительные выводы сформулированы в постулате Даламбера – Эйлера , утверждающем, что при изучении направленного движения жидкостей и сил взаимодействия их с твердыми телами, жидкости можно рассматривать как сплошную среду - континуум, лишенную молекул и межмолекулярных пространств .
Принимая гипотезу сплошности мы тем самым предполагаем макроскопическое поведение жидкостей одинаковым, как если бы их структура была идеально непрерывной, а физические величины, например масса и количество движения, связанные с тем веществом, которое содержится внутри рассматриваемого объёма, считаем равномерно распределённым по этому объёму, отвлекаясь от того, что в действительности они концентрируются в его малых частях.
Гипотеза сплошной среды (или гипотеза сплошности) – первый шаг на пути формирования моделей жидкости, рассматриваемых в различных разделах механики жидкости и газа и, в том числе, в газовой динамике. Такая идеализация существенно упрощает реальную дискретную среду и позволяет, в частности, при исследовании движения жидкости использовать хорошо разработанный математический аппарат исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального исчислений) и теорию непрерывных функций.
Гипотеза сплошной среды даёт возможность придать определенный смысл понятию «значение в точке» , применяемому к различным параметрам жидкости, например плотности, скорости, температуре, и вообще считать эти величины непрерывными функциями координат и времени. На этом основании можно составить уравнения, описывающие движение жидкости (уравнения движения), форма которых не зависит от микроскопической структуры частиц этой жидкости. В этом смысле движения жидкостей и газов изучаются одинаково – уравнения не зависят от того, существует ли какая-либо структура частиц . Аналогичная гипотеза вводится в механике деформируемых твердых тел, и потому эти два предмета вместе часто называют механикой сплошных сред .
Несмотря на естественность гипотезы сплошной среды, определение свойств этой гипотетически непрерывной среды , которая движется таким же образом, как и реальная жидкость с данной структурой частиц, оказывается трудным делом. Используя методы кинетической теории газов, с помощью упрощающих предположений о столкновении молекул можно показать, что уравнения, определяющие локальную скорость газа, имеют такой же вид, как и в случае движения некоторой непрерывной жидкости (хотя значения коэффициентов молекулярного переноса определяются не строго). Математическое обоснование рассмотрения движения газов как движения сплошной среды обычно выходит за рамки традиционных курсов механики жидкости и газа и, тем более, прикладной гидро- или газодинамики. Более того, это обоснование неполно для капельных жидкостей и поэтому принято ограничиваться введением такой гипотезы.
Критерием приемлемости всякой физической гипотезы является степень совпадения результатов, полученных на её основе, с результатами наблюдений и измерений. Для капельных жидкостей и газов правомерность использования гипотезы сплошной среды в широком диапазоне изменения параметров полностью подтверждается. Обширные экспериментальные данные свидетельствуют о том, что обычные реальные жидкости в нормальных условиях, а зачастую и при значительных отклонениях от них, движутся так, как если бы они были непрерывны.
Количественные пределы применимости законов газовой динамики, основанной на модели сплошной среды, определяются величиной критерия Кнудсена .
«В гидродинамике и в задачах обычной газодинамики жидкость представляют как сплошную среду. Это тоже своеобразная модель жидкости. Это представление допускает, что объем жидкости можно дробить на какие угодно мелкие части, вплоть до бесконечно малых, но ее свойства при этом остаются теми же самыми. Иначе говоря, здесь не принимается во внимание молекулярная структура вещества. Представление о жидкости, как о сплошной среде, было вызвано необходимостью использовать для расчетов методы математического анализа, в которых приходится оперировать бесконечно малыми массами и объемами. Модель сплошной среды применима для несжимаемых жидкостей, а также для газов не очень низких плотностей. Если же плотность газа становится очень низкой, как, например, на больших высотах, то расстояние между молекулами (длина свободного пробега) становятся соизмеримыми с размерами обтекаемых тел, и модель сплошной среды уже никак не соответствует реальной картине обтекания».
& (Виноградов) с.11
Содержание статьи
ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА –наука о движении и равновесии жидкостей и газов. При планировании физических экспериментов или при их проведении необходимо создавать теоретические модели, которые либо предсказывают возможные результаты этих экспериментов, либо объясняют уже полученные. Только в тесном взаимодействии теории и эксперимента можно понять то, что происходит в окружающем нас физическом мире. Для создания той или иной количественной или качественной модели физического явления необходим математический фундамент, на основе которого строятся такие модели. Под математическим фундаментом в данном случае подразумеваются те дифференциальные уравнения и те граничные и начальные условия, с помощью которых можно было бы описывать рассматриваемое физическое явление. Гидромеханика и предлагает модели и аппарат для иcследования явлений, происходящих в жидкостях и газах.
О гипотезе сплошности среды.
Гидроаэромеханика изучает движения жидкостей и газов в приближении, когда они могут рассматриваться как сплошные среды, т.е. среды, непрерывным образом заполняющие рассматриваемое пространство течения. Чтобы решать математические проблемы, связанные с расчетом движения различных объектов (самолетов, ракет, кораблей и др.) в воздухе или воде, с изучением волновых процессов в жидкостях и газах, с их течениями по трубам и каналам и т.п., необходим математический аппарат, описывающий эти явления. Этим аппаратом и являются уравнения гидроаэромеханики, которые опираются на гипотезу сплошности среды, т.е. на гипотезу о том, что частицы жидкости или газа непрерывным образом заполняют занимаемую ими часть физического пространства.
Возникает естественный вопрос: при каких предположениях справедлива эта гипотеза? Если для жидкостей (воды, жидких металлов и т.п.) эта гипотеза более или менее очевидна, то для достаточно разреженных газов (например, занимающих космическое пространство, включая атмосферы звезд, планет и Солнца), которые состоят из отдельных атомов или молекул, а также других физических объектов, к которым применим аппарат гидроаэромеханики, она требует своего обоснования. Так, например, при расчете торможения искусственных спутников Земли использование математического аппарата гидроаэромеханики не представляется возможным, в то время как именно этот аппарат используется при расчете торможения космических объектов, входящих в плотные слои атмосфер Земли и планет (например, метеоритов или возвращаемых на Землю космических кораблей и пр.). На этот вопрос легко ответить при выводе уравнений. Однако из этого вывода следует, что гипотеза сплошности среды справедлива, в частности, в том случае, когда характерный размер обтекаемого тела L (например, радиус сферического спутника) много больше длины свободного пробега атомов или молекул газа l, т.е. длины между последовательными их столкновениями.
Замкнутая система уравнений гидроаэромеханики.
Уравнения гидроаэромеханики в их упрощенном виде представляют собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений для массовой плотности r (масса жидкости или газа в единице объема), вектора скорости V и давления p , которые, в свою очередь, являются функциями пространственных координат (например, x , y и z в декартовой системе координат) и времени t . Не вдаваясь в математические подробности вывода этих уравнений, можно рассмотреть основные идеи этого вывода, тем более, что эти уравнения представляют собой известные даже из школьных учебников законы сохранения массы, импульса и энергии. Для этого рассматривается некоторый физический объем, непрерывным образом заполненный жидкостью или газом. На рис. 1 изображена движущаяся жидкость (или газ), непрерывным образом заполняющая некоторую часть физического пространства. Выделим из нее некоторый объем U (ограниченный поверхностью S), который в течение всего времени движения состоит из одних и тех же частиц жидкости (этот объем заштрихован).
Очевидно, что при своем движении масса жидкости, заключенная в объеме U , остается постоянной (если, конечно, нет каких-либо дополнительных источников этой массы), хотя сам объем может сильно деформироваться, поскольку частицы не скреплены жестко, как в твердом теле. Если выделить из рассматриваемого объема бесконечно малый элемент DU , то очевидно, что в этом элементе масса жидкости или газа будет равна rDU . Тогда закон сохранения массы, заключенной в выделенном объеме U , можно записать в виде
т.е. масса жидкости или газа, заключенная в выделенном объеме U , не изменяется со временем. Здесь интеграл берется по выделенному объему U , который меняется со временем t . Если использовать формулу производной по времени от интеграла по движущемуся объему, можно получить уравнение
Это уравнение в гидроаэромеханике обычно называется уравнением неразрывности.
Аналогично можно записать теперь закон сохранения импульса. Импульс единицы объема жидкости, равен rV, в элементарном объеме rDU , а в выделенном объеме U –
где p n – вектор поверхностной силы, который действует на элемент поверхности S с единичным вектором нормали n. Одной из основных проблем гидроаэромеханики, окончательно решенной в середине 19 в., является явное определение поверхностных сил. В рамках используемого здесь так называемого феноменологического подхода к получению уравнений гидроаэромеханики, поверхностные силы определяются эмпирически. Дифференцируя по времени интеграл слева в уравнении импульса, как это делалось при выводе уравнения неразрывности, и переходя от поверхностного интеграла справа к объемному, можно написать дифференциальные уравнения движения для непрерывных функций в виде
а величины u , v и w , а также – являются проекциями векторов скорости V и градиента давления на оси Ox , Oy и Oz соответственно.
Это уравнение, называемое уравнением Навье – Стокса, выписано в наиболее простой форме для несжимаемой жидкости, где поверхностные силы сводятся к нормальному давлению р , а последний член справа представляет собой «вязкие» силы (m – коэффициент вязкости) в предположении, что r = const.
Впервые уравнение движения было выведено в середине 18 в. Л.Эйлером , когда он работал в Петербургской Академии наук. Поскольку эффекты вязкости в жидкости в то время еще не были известны, то Эйлер получил это уравнение при m = 0. В честь его эти уравнения были названы уравнениями Эйлера. Только в 1822 французским инженером Навье в уравнения Эйлера были введены силы, связанные с вязкостью, определяемой коэффициентом m. В общей форме, справедливой и для сжимаемого газа, уравнение получено Стоксом и получило название уравнения Навье – Стокса.
Для несжимаемой жидкости дифференциальные уравнения неразрывности и импульса (одно скалярное и одно векторное) являются замкнутой системой уравнений для определения вектора скорости V и скалярного давления р (r = const). Если же r № const, то требуется дополнительное уравнение. Это уравнение получается из закона сохранения энергии.
Обобщение закона сохранения энергии на случай движения жидкостей и газов получается аналогично обобщению второго закона Ньютона, однако, в силу наличия теплового движения в жидкостях и газах, энергия, приходящаяся на единицу объема, состоит из кинетической энергии rV 2 /2 и внутренней энергией re, связанной с тепловым движением частиц газа или жидкости. Полная энергия в элементе объема DU равна r(V 2 /2 + e)DU .
Изменение полной энергии в выделенном объеме U равно притоку тепла через поверхность S за счет теплопроводности, а также работе массовых и поверхностных сил, т.е. вместо закона сохранения импульса, получается уравнение
где n – единичный вектор нормали к поверхности S.
Для совершенного газа e = c v T , где с v – теплоемкость при постоянном объеме, T – температура, а для вектора потока тепла обычно принимается эмпирический закон Фурье q = – l T (l – коэффициент теплопроводности). После соответствующего дифференцирования по времени левой части уравнения энергии, перехода от поверхностных интегралов к объемным и при использовании уравнения неразрывности и уравнения движения, можно получить так называемое уравнение притока тепла для непрерывных функций
Все эти уравнения, вместе с уравнением состояния для совершенного газа
p = r R T ,
где R = (с р – с v ) – газовая постоянная, а с р – теплоемкость при постоянном давлении, и законом Фурье
Образуют замкнутую систему уравнений гидроаэромеханики для определения вектора скорости V , давления p , плотности r и температуры Т .
Если какое либо физическое явление мало зависит от диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности), то уравнения эти уравнения сводятся к уравнениям гидроаэромеханики идеальной жидкости. В этом случае замкнутой системой уравнений для определения р , r, V и Т является система
Последнее уравнение есть адиабатический закон, который легко сводится к закону сохранения энтропии. Здесь g = с p /c v – показатель адиабаты, т.е. отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.
Гидростатика
представляет собой частный случай гидроаэромеханики, который изучает равновесие жидкостей и газов, т.е. их состояние при отсутствии гидродинамической скорости (V = 0). Результаты и методы гидростатики имеют большое значение для многих задач, важных как с практической, так и с общенаучной точек зрения. В гидростатике рассматриваются задачи, связанные с равновесием воды в водных бассейнах, воздуха в атмосфере Земли, решаются задачи расчета сил, которые действуют на тела, погруженные в жидкость или газ, определяются распределения давления, плотности, температуры в атмосферах планет, звезд, Солнца и множество других задач.
Уравнения гидростатики получаются из уравнений гидроаэромеханики при V =0. В частности, уравнения сохранения импульса дает
Откуда, в частности, следует известный еще из школьных учебников закон Паскаля , согласно которому при отсутствии внешних массовых сил (F = 0) давление всюду является постоянным (p = const).
Равновесие совершенного газа в поле сил тяжести.
Пусть есть газ в центральном поле сил тяжести. Уравнения равновесия в сферической системе координат будут в этом случае записываются как:
Здесь r , q и c – соответственно расстояние до притягивающего центра массы М , помещенного в начало координат, угол, отсчитываемый от полярной оси Оz , и угол в плоскости Оxy , G – гравитационная постоянная, равная 6,67Ч10 –8 дин см 2 г –2 .
Из этих уравнений видно, что в центрально-симметричном поле гравитации давление зависит только от расстояния до этого центра (легко показать, что давление не зависит и от времени). Легко также показать, что плотность и температура также зависят только от координаты r . Интегрирование первого из этих уравнений приводит к так называемой барометрической формуле, если под М понимать массу Земли, планеты, звезды, Солнца и др. При использовании уравнения состояния барометрическая формула имеет вид
где p 0 – давление на некотором расстоянии r = r 0 от притягивающего центра (для Земли, например, это может быть давление на уровне моря). Эта формула определяет распределение давления в атмосферах звезд, Земли, планет, Солнца и др., если известно распределение температуры Т (r ), однако эту температуру часто нельзя определить из написанного ранее уравнения притока тепла, так как в нем учитывается только приток тепла за счет теплопроводности, в то время как для перечисленных атмосфер есть другие источники тепла, неучтенные в приведенном уравнении. Например, атмосфера Солнца разогревается различного рода волновыми процессами, а атмосфера Земли перерабатывает энергию солнечного излучения и т.п., поэтому для определения распределения давления в атмосферах небесных тел при помощи барометрической формулы часто используются эмпирические зависимости Т (r ).
Можно, например, рассчитать распределения давления в атмосфере Земли до расстояний в 11 км от ее поверхности. Если выбрать декартову систему координат с началом на поверхности Земли и направить ось Oz вертикально вверх, тогда в барометрической формуле вместо координаты r нужно брать координату z = r – R Е, где R Е – радиус Земли. Поскольку этот радиус много больше толщины атмосферы (z R Е), то барометрическую формулу для плоской атмосферы можно переписать в виде
Здесь введено обозначение для ускорения земного притяжения
где Т 0 – абсолютная температура на поверхности моря (z = 0), D – эмпирическая величина, физически означающая уменьшение температуры при подъеме на 100м. Для реальной атмосферы часто принимается D = 0,65, Т 0 = 288К.
Если принять такое распределение температуры, то давление записывается в виде
Отсюда видно, что принятая эмпирическая линейная зависимость Т (z ) неприемлема для всей атмосферы Земли, так как на высотах, больших 44 км, давление становится отрицательным. Однако она приемлема для высот, имеющих важное практическое значение. Из экспериментов, выполненных при помощи спутников, высотных ракет и т.п., оказывается, что на больших высотах температура является очень сложной и немонотонной функцией высоты. Эта немонотонность обусловлена сложным процессом переработки солнечной энергии верхними слоями атмосферы Земли, которые не учитываются уравнением притока тепла.
Равновесие несжимаемых жидкостей.
Если рассмотреть простой пример равновесия несжимаемой жидкости в гравитационном поле Земли, то из условий равновесия при r = const получается, что
p = p 0 – r gz или р = p 0 + r gh ,
где h – глубина жидкости под ее поверхностью, р 0 – давление на поверхности (рис. 2). Эта формула, известная из школьных учебников, показывает, как давление в жидкости возрастает с ее глубиной. С помощью этой формулы легко рассчитать давление на дно сосуда, заполненного жидкостью. Интересно, что это давление зависит от глубины, но не зависит от формы сосуда. В частности, на рис. 3 давление на дно сосудов 1 и 2 одинаковой площади дна S будет одинаковым или сила, действующая на дно этих сосудов вследствие давления жидкостей, будет одинаковой.
Много важных приложений основывается на решениях уравнений гидростатики (закон Архимеда, устойчивость равновесия атмосфер звезд и планет и т.п.).
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ В ПРИЛОЖЕНИЯХ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ.
1. Модель несжимаемой жидкости.
Уравнения гидроаэромеханики для вязких и теплопроводных жидкостей или газов в большинстве очень важных для практики проблем поддаются решению только численными методами. Однако эти уравнения существенно упрощаются в предположении, что для рассматриваемого течения справедливо предположение о его несжимаемости (r = const). Хотя строго несжимаемых жидкостей или газов в природе не существует, тем не менее, во многих случаях, например, сжимаемый газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость, поскольку изменением плотности во многих течениях можно пренебречь. При этом уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости принимает вид div = 0 .
Вместе с уравнением сохранения импульса оно образует замкнутую систему уравнений для определения давления р и скорости V. Два критерия определяют возможность использования модели несжимаемой жидкости для, вообще говоря, сжимаемого газа
где M – так называемое число Маха, a – скорость распространения звука в газе, V * – характерная скорость течения (например, скорость движения воздуха относительно летящего самолета), t * – характерное время нестационарности движения (например, характерное время пульсаций параметров воздуха перед летящим самолетом), L – характерный размер задачи (например, размер обтекаемого тела). Для стационарного течения достаточен только первый критерий. Эти критерии имеют ясный физический смысл. Например, при полете самолетов с большой дозвуковой скоростью модель несжимаемой жидкости можно использовать при расчете характеристик обтекания такого самолета (сопротивление, подъемную силу и пр.). Если же самолет летит со сверхзвуковой скоростью, то перед ним образуется так называемая ударная волна , характерной особенностью которой являются резкие скачки в ней давления, скорости, плотности и температуры. Образование ударной волны – это типичный признак существенности изменения плотности, т.е. типичный признак сжимаемости течения.
Течение вязкой жидкости в цилиндрической трубе (течение Гагена – Пуазейля).
Важной задачей является рассмотрение течений вязких несжимаемых жидкостей в цилиндрической трубе круглого сечения радиуса R (Рис. 4) под действием перепада давления на концах этой трубы P = (p 2 – p 1)/L , где L – длина трубы. Если предположить, что длина трубы настолько велика, что вход, где давление p 2 , и выход, где давление p 1 (p 2 > p 1), не влияют на течение в большей части этой трубы, то легко получить точное аналитическое решение уравнения Навье – Стокса в виде
где u – скорость жидкости вдоль оси х , совпадающей с осью симметрии трубы, а r – расстояние от этой оси. Из этой видно, что профиль скорости в трубе является параболическим. На стенках трубы скорость обращается в нуль вследствие прилипания жидкости из-за эффекта вязкости. Такое течение было изучено в середине 19 в. Пуазейлем и Гагеном на примере течений жидкостей в капиллярах и получило название течения Гагена – Пуазейля.
Очевидно, при постоянном потоке (не зависящем от r ) жидкости у входа в трубу и на ее начальном участке профиль скорости не будет совпадать с приведенным решением. Параболический профиль устанавливается лишь на достаточно большом расстоянии от входного участка, именно поэтому для получения решения нужно предположить, что труба достаточно длинная, при этом для таких труб это точное решение хорошо совпадает с экспериментальными данными.
Полученное решение описывает стационарное, гладко-слоистое течение, которое обычно называют ламинарным. Однако из практики известно, что в трубах иногда течение бывает нестационарным, с пульсациями скорости, с перемешиванием между слоями, это течение обычно называется турбулентным. Опыты Рейнольдса, проведенные в 1883, показали, что при достаточно больших значениях числа r U L /m, где U – средняя по сечению трубы скорость жидкости, параболический профиль становится неустойчивым по отношению к малым возмущениям, а при дальнейшем увеличении этого числа течение в трубе становится турбулентным. Это число получило название числа Рейнольдса (Re), которое играет очень важную роль в различных задачах гидроаэромеханики. В частности оно характеризует отношение инерционных сил (левая часть уравнения) к силам вязкости, при этом часто силами вязкости можно пренебречь и использовать уравнения гидроаэромеханики идеальной жидкоститолько при Re >> 1.
Течения идеальных жидкостей и газов.
Часто важные в приложениях задачи рассматривают на основе уравнений гидроаэромеханики идеальной жидкости, а не на полных уравнениях. Это связано с тем, что математически уравнения идеальной гидроаэромеханики существенно проще. Если нужно определить подъемную силу крыла самолета при малых дозвуковых скоростях, то вязкие силы пренебрежимо малы и нет необходимости использовать уравнения Навье – Стокса. Однако для определения сопротивления такого крыла при движении его в воздухе вязкие силы оказываются определяющими и необходимо использовать более сложный математический аппарат, связанный с уравнениями Навье – Стокса.
Интеграл Бернулли.
При некоторых предположениях уравнения гидромеханики идеальной жидкости можно один раз проинтегрировать, они имеют решения, одним из которых является интеграл Бернулли для стационарных течений (по имени современника Эйлера математика Бернулли, впервые получившего этот интеграл)
где P (p ) = т dp /r (p ) – функция давления, U – потенциал внешних массовых сил, С – постоянная вдоль линии тока l (линия тока совпадает с вектором скорости течения V ).Так, например, для несжимаемой жидкости в поле земного тяготения это уравнение имеет вид
Для адиабатических течений интеграл Бернулли в отсутствии внешних массовых сил имеет вид
В качестве примера использования интеграла Бернулли можно определить скорость истечения несжимаемой жидкости из сосуда (рис. 5). При истечении жидкости из этого сосуда уровень жидкости понижается, т.е. скорость поверхности жидкости, вообще говоря, отлична от нуля. Однако при достаточно широком сосуде с узким отверстием вытекания можно принять, что V z 1 – z 2). Для ванны с высотой налитой воды примерно 0,5 м скорость истечения V 2 » 3,1м/сек.
Уравнения движения идеальной жидкости имеют еще один интеграл для нестационарных течений, который называется интегралом Коши – Лагранжа. Он справедлив для течений, в которых отсутствуют вихри. Его часто, например, используют при рассмотрении волновых движений жидкости или газа.
Ударные волны как одно из важных проявлений сжимаемости газа.
Математически уравнения идеальной гидроаэромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и температуры). Одним из таких проявлений в природе является образование ударной волны около летящего со сверхзвуковой скоростью тела в плотных слоях атмосферы Земли. Например, образование ударной волны около летающих сверхзвуковых самолетов или ударных волн около метеоритов, вторгающихся в плотные слои атмосферы Земли с большими сверхзвуковыми скоростями. В условиях космического пространства хорошо известны межпланетные ударные волны, которые чаще всего являются результатом активных процессов на Солнце (например, вспышек).
Известно, что около пассажирских самолетов, летающих главным образом с большими дозвуковыми, никакие ударные волны не образуются. Пусть есть сферическое тело радиуса R (рис. 6), которое летит в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Тогда впереди такого тела образуется ударная волна В , являющаяся границей между областями 1 и 2, которые отличаются значениями параметров газа. В системе координат, связанной с летящим телом. поток газа набегает на покоящееся тело. Пусть ось Оx направлена вдоль скорости потока, а V 1 , p 1 , r1 и T 1 – скорость, давление, плотность и температура, соответственно, в невозмущенном телом потоке газа (до ударной волны). В область 1 возмущения от тела не попадают, поскольку тело движется со сверхзвуковой скоростью. Так как скорость газа в лобовой точке тела А обращается в нуль, то от точки А до точки С на ударной волне есть область дозвуковой скорости газа, которой достигают возмущения воздуха от летящего тела. Физический смысл образования ударной волны и заключается в разделении невозмущенного и возмущенного потоков газа. Если через V
Это означает, что скорость за ударной волной уменьшается, а давление, плотность и температура возрастают. Сильным возрастанием температуры за ударной волной и объясняется оплавление возвращающихся на Землю космических аппаратов и метеоритов, вторгающихся в атмосферу с большими сверхзвуковыми скоростями. Такие ударные волны называются ударными волнами сжатия (плотность газа возрастает). Интересно, что в природе никогда не наблюдались ударные волны разрежения, в которых плотность падает. Математически образование ударных волн разрежения запрещается известной в гидроаэромеханике теоремой Цемплена
Соотношения между параметрами с индексами «1» и «2» можно получить из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии, поскольку они справедливы и для разрывных функций. Такие соотношения называются соотношениями Гюгонио и имеют вид (в системе координат, связанной с ударной волной)
r1 V n 1 = r2 V n 2 ; r1 V n 1V 1 + p 1 n =r2 V n 2V 2 + p 2 n ;
V n 1 = V n 2.
Вместе с уравнением состояния эти соотношения позволяют определить значения параметров газа за ударной волной (индекс «2») по значениям параметров невозмущенного ударной волной потока газа (индекс «1»).
Описанный математический аппарат гидроаэромеханики используется во многих областях естественных наук, при этом для корректности использования этого аппарата требуется только выполнение критерия сплошности среды, т.е. для газов, например, длина свободного пробега частиц должна быть много меньше характерных размеров рассматриваемых объектов обтекания. В частности, в условиях космического пространства часто среда очень разрежена. В таких средах, конечно же, длина свободного пробега частиц очень велика, но размеры самих объектов исследования оказываются во многих случаях существенно больше, т.е. методы гидроаэромеханики применимы и к таким объектам.
В биомеханике при помощи методов гидромеханики исследуются интересные особенности течений биологических жидкостей по сосудам, а в гидрогеологии исследуются, например, задачи динамики внутренних слоев Земли. Все это свидетельствует о важности науки, которая называется «гидроаэромеханика».
Владимир Баранов
Гипотеза сплошности.
«Рассматривать жидкие тела как совокупность отдельных молекул (в каждой отдельно) практически неподвижно, поэтому при изучении жидкости и газов (и вообще деформации тел) вводятся допущения, что эти тела заполняют пространство непрерывно, т.е. характеризуют определенными значениями параметра (плотность, температура, вязкость и тд.). при таком рассмотрении жидкое тело называют сплошной средой или континиумом.
Жидкости. Все вещества в природе имеют молекулярное строение. По характеру молекулярных движений, а также по численным значениям межмолекулярных сил жидкости занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами. Свойства жидкостей при высоких температурах и низких давлениях ближе к составам газов, а при низких температурах и высоких давлениях - к свойствам твердых тел. В газах расстояния между молекулами больше, а межмолекулярные силы меньше, чем в жидкостях и твердых телах, поэтому газы отличаются от жидкостей и твердых тел большей сжимаемостью. По сравнению с газами жидкости и твердые тела малосжимаемы.
Молекулы жидкости находятся в непрерывном хаотичном тепловом движении, отличающемся от хаотичного теплового движения газов и твердых тел: в жидкостях это движение осуществляется в виде колебаний (10п колебаний п секунду) относительно мгновенных центров и скачкообразных переходов от одного центра к другому. Тепловое движение молекул твердых тел - колебания относительно стабильных центров. Тепловое движение молекул газа - непрерывные скачкообразные перемены мест.
Диффузия молекул жидкостей и газов обусловливает их общее свойство - текучесть. Поэтому термин «жидкость» применяют для обозначения и собственно жидкости (несжимаемая или весьма мало сжимаемая, капельная жидкость), и газа (сжимаемая жидкость). В гидравлике рассматриваются равновесие и движение капельных жидкостей.
Гипотеза сплошности.
Жидкость рассматривается как деформируемая система материальных частиц, непрерывно заполняющих пространство, в котором оно движется.
Жидкая частица представляет собой бесконечно малый объем, в котором находится достаточно много молекул жидкости. Например, если рассмотреть кубик воды со сторонами размером 0,001 см, то в объеме будет находиться 3,3 1013 молекул. Частица жидкости полагается достаточно малой по сравнению с размерами области, занятой движущейся жидкостью.
При таком предположении жидкость в целом рассматривается как континуум - сплошная среда, непрерывно заполняющая пространство, т. е. принимается, что в жидкости нет пустот или разрывов, все характеристики жидкости являются непрерывными функциями, имеющими непрерывные частные производные по всем своим параметрам. Сплошная среда представляет собой модель, которая успешно используется при исследовании закономерностей покоя и движения жидкости.
Правомерность применения модели жидкости - сплошная среда подтверждена всей практикой гидравлики.
Гипотеза сплошности нужна для того, чтобы можно было применить дифференциальное исчисление, определенные формулы в математике, которые мы проходим. Если будем рассматривать жидкости как несплошное тело, то нужно применять другую «математику», которая находиться только в стадии развития.
Силы, действующие на выделенный объем сплошной среды (жидкости)
Рассмотрим некоторый объем жидкости (содержащийся в сосуде или объем, мысленно выделенный из общей массы жидкости). Приложенные к нему силы можно разделить на массовые и поверхностные.
Массовые силы обусловлены действующим на жидкость силовым полем, они приложены к каждой частице жидкости и пропорциональны их массе, примером таких сил являются силы тяжести, силы инерции переносного движения.
Поверхностные силы обусловлены взаимодействием рассматриваемого объема с окружающими его телами; если жидкость налита в сосуд - это силы реакции стенок сосуда; если рассматривается объем, мысленно выделенный из общей массы жидкости - это силы, действующие на него со стороны «отброшенной» жидкости. Во всех случаях эти силы распределены по поверхности выделенного объема и определяются площадью поверхности, на которую они действуют.
Напряжения в сплошной среде. Нормальные и касательные напряжения.
Определим напряжение, возникающее в жидкости под действием массовых сил. Возьмем элементарный объем ∆ V, в котором заключена масса жидкости ∆m и приложена массовая сила ∆. F.
Отношение этой силы к массе элементарного объема называется средним напряжением массовой силы и обозначается через а ср, таким образом, а ср=│ ∆F │ / ∆m
Если объем элементарной частицы и, следовательно, ее масса стремится к нулю, то получим напряжение массовых сил в точке lim │ ∆F │ / ∆m = d| F | / dm = а. (1.1) при ∆ V → 0 .
Напряжение массовых сил совпадает с ускорением (как следует из второго закона Ньютона), вызываемым этой силой, и имеет его размерность.
Аналогичным образом можно определить напряжение поверхностных сил. Эти силы пропорциональны размеру площадки, на которую они действуют, и непрерывно распределены по ее поверхности; их можно разложить на составляющие: нормальную силу сжатия и касательную силу (силу трения).
Поверхностные силы сжатия имеют место как при равновесии (покое) жидкости, так и при ее движении, а поверхностные силы трения в обычных жидкостях возникают только при их движении.
Пусть на элементарную площадку ∆ω действует поверхностная сила ∆ R, направленная под углом а к нормали к площадке (рис. 1.1).
Силу ∆ R можно разложить, как указывалось, на нормальную составляющую ∆Р, направленную вдоль нормали к площадке, и на касательную ∆ T, лежащую в плоскости касательной к поверхности в точке приложения силы ∆ R..
Предел отношения элементарной силы (силы трения) ∆T к площадке∆ω или отношение конечной касательной силы Т к площади w называется касательным напряжением.
т = lim | ∆ TI ∆ω| или τ = T/ ω (1.2) ∆ω→0
Нормальные напряжения в жидкости определяются как предел отношения силы давления ∆Р к площадке ∆ω: р = lim | ∆ TI ∆ω| ∆ω→0
Нормальные напряжения р называют давлением.
Сопротивление растяжению внутри капельных жидкостей по молекулярной теории может быть весьма значительным. При опытах с тщательно очищенной и дегазированной водой в ней были получены кратковременные напряжения растяжения до 28*10 3 кН. Однако жидкости, содержащие взвешенные твердые частицы и мельчайшие пузырьки газов, не выдерживают даже незначительных напряжений растяжения. Поэтому в дальнейшем будем считать, что напряжения растяжения в капельных жидкостях практически невозможны и в ней могут действовать только сжимающие усилия, вызывающие нормальное напряжение.
